অনুপাত ও সমানুপাত কাকে বলে ? শ্রেণিবিভাগ, শর্টকাট সূত্র প্রয়োগ

অনুপাত ও সমানুপাত

নমস্কার আপনাকে স্টুডেন্টস কেয়ারে স্বাগতম। আজকে আমরা গণিতের একটু গুরুত্বপুর্ণ বিষয় অনুপাত ও সমানুপাত নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করবো। আজ আমরা পড়বো অনুপাত কাকে বলে, অনুপাতের ভাগ গুলি কি কি? অনুপাত কিভাবে নির্ণয় করতে হয়, এবং তার সাথে সাথে শিখে নেবো সমানুপাত কী? ও বিস্তারিত। তাহলে শুরু করা যাক!

◊ অনুপাত কাকে বলে?

‘অনুপাত’ শব্দের অর্থ তুলনা করা। অর্থাৎ একই জাতীয় দুইটি রাশির মধ্যে তুলনা করাকে অনুপাত (ratio) বলে। পাটিগণিতে দুটি বাস্তব সংখ্যার অনুপাতকে একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করা যায় । ভগ্নাংশের লব ও হর কে যথাক্রমে অনুপাতের পূর্বপদ ( Antecedent ) ও উত্তরপদ ( Consequent ) বলে । রাশি বা সংখ্যা দুইটি সমজাতীয় বলে অনুপাতের কোন একক নেই এবং এর গাণিতিক চিহ্ন ‘:’। অনুপাতের দুটি পদের মধ্যে গ.সা.গু যেন 1 হয় অর্থাৎ অনুপাতকে সবসময় সর্বনিম্ন আকারে প্রকাশ করা হয় ।a ও b রাশির দুটির অনুপাতকে a : b আকারে লেখা হয়, এবং পড়া হয় ” a অনুপাত b ” ( a is to b ) .

তাহলে দেখা যাচ্ছে, a:b=ab [b ≠ 0]

একটি উদাহরণ দিয়ে অনুপাতকে বুঝে নেওয়া যাক-

যেমন, অমিতের বয়স আমার ৩ গুণ। এই কথাটি একটি আনুপাতিক সংখ্যা প্রকাশ করে।

আমার বয়সঃ ২৩ বছর

অমিতের বয়সঃ ৬৯ বছর

[আরও পড়ুন- সহস্র শর্টকাট পদ্ধতি গাণিতিক সূত্র সহ বাংলায় লেখা বই PDF Free]

অমিতের বয়স ÷আমার বয়স = ৬৯÷২৩ = ৩

এটিকে লেখা যেতে পারে,

অমিতের বয়স : আমার বয়স = ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১

এখন দেখুন, আমরা ৩:১ থেকে লিখতে পারি,

অমিতের বয়স = ৩x বছর

আমার বয়স = x বছর; x এখানে সেই সংখ্যাটি যা দিয়ে ভাগ করে অনুপাতটিকে সংক্ষিপ্ত আকারে প্রকাশ করা হয়েছে। ৬৯ : ২৩ = ৩ : ১; এখানে অনুপাতের দুইটি সংখ্যাকে ২৩ দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। x = ২৩।

⇒ অনুপাতের শ্রেণিবিভাগ-

অনুপাতকে কয়েকটি ভাগে ভাগ করা যায়। যথা-

১. সরল অনুপাত:

অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলে। সরল অনুপাতের ১ম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং ২য় রাশিকে উত্তর রাশি বলে। যেমন: ৬: ৮ একটি সরল অনুপাত। এখানে ৬ হলো পূর্ব রাশি এবং ৮ হলো উত্তর রাশি।

২. লঘু অনুপাত:

পূর্বরাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন, ৭: ৯, ৬: ৮ ইত্যাদি।

৩. গুরু অনুপাত:

কোনো সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি, উত্তর রাশি থেকে বড় হলে তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন: ৫: ২, ৮: ৬, ৯: ৪ ইত্যাদি।

৪. একানুপাত:

যে সরল অনুপাতের পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশি সমান, সেই অনুপাতকে একক অনুপাত বলে। যেমন: ১০: ১০ বা, ৩: ৩ বা ১: ১।

৫. ব্যস্ত অনুপাত:

সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে সরল অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন– ১২: ৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ৬: ১২।

[ আরও পড়ুন- ত্রিকোণমিতির অনুপাতগুলো মনে রাখার টেকনিক ও সহজ পদ্ধতি]

৬. মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত:

একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর ধারাবাহিক গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর ধারাবাহিক গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র বা যৌগিক অনুপাত (compound ratio)  বলে।

যেমন: ৫:৩, ৭:৯, ১১:৪ তিনটি অনুপাত হলে,

পূর্ব রাশিগুলোর ধারাবাহিক গুণফল=৫ x ৭ x১১= ৩৮

উত্তর রাশিগুলোর ধারাবাহিকক গুণফল=৩ x ৯ x ৪= ১০৮

অতএব, অনুপাত গুলোর মিশ্র অনুপাত=৩৮৫ : ১০৮

৭. দ্বিগুণানুপাত:

যেকোনো সরলঅনুপাতের পূর্বরাশি ও উত্তররাশিকে বর্গ করলে যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে দ্বিগুণানুপাত বলে। যেমন– ৫ : ৬ এর দ্বিগুণাপাত হল ৫^২ : ৬^২ = ২৫ : ৩৬।

৮. দ্বিভাজিত অনুপাত: 

সরল অনুপাতের রাশি দুটির বর্গমূল করলে  যে অনুপাত পাওয়া যায় তাকে দ্বিভাজিত অনুপাত বলে। যেমন– ২৫ : ৩৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত হল = √২৫ : √৩৬ = √৫^২ : √৬^২  = ৫ : ৬।

৯. ধারাবাহিক অনুপাত: 

দুটি অনুপাতের মধ্যে প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি পরস্পর সমান হলে, তাদের ধারাবাহিক অনুপাতে প্রকাশ করা যায়। যেমন: ৩:৫ ও ৫:৭ দুইটি অনুপাত হলে, এদের ধারাবাহিক অনুপাত হবে ৩ : ৫ : ৭

১০. অনুপাতের গুণ ও ভাগ: 

কোনো অনুপাতে উভয় রাশিকে একই সংখ্যা দ্বারা প্রয়োজনানুযায়ী গুণ ও ভাগ করা যেতে পারে। যেমন: 5:7 কে লিখতে পারি  বা  আবার,  কে লিখতে পারি,  বা 

◊ অনুপাতের রূপান্তর

অনুপাতের রাশিগুলো ধনাত্মক।

১।  হলে,   [ ব্যস্তকরণ (invertendo)]

২।  হলে,   [একান্তরকরণ (alternendo)]

৩।  হলে,  [যোজন (componendo)]

৪।  হলে,  [বিয়োজন (dividendo)]

৫।  হলে,  [যোজন-বিয়োজন (componendo-dividendo)]

৬।  হলে, প্রত্যেকটি অনুপাত  ।

◊ ধারাবাহিক অনুপাত

দুইটি অনুপাত যদি  এবং  আকারের হয়, তাহলে তাদেরকে  আকারে লেখা যায়। একে ধারাবাহিক অনুপাত বলা হয়। যেকোনো দুই বা ততোধিক অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত আকারে প্রকাশ করা যায়।

দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত আকারে প্রকাশ করতে হলে, ১ম অনুপাতটির উত্তর রাশি, ২য় অনুপাতটির পূর্ব রাশির সমান করতে হবে। অর্থাৎ ঐ দুইটি রাশিকে তাদের ল.সা.গু. এর সমান করতে হবে।

উদাহরণ:

 এবং  কে ধারাহিক অনুপাতে প্রকাশ।

১ম অনুপাতের উত্তর রাশি ও ২য় অনুপাতের পূর্ব রাশি হবে  ও  এর ল.সা.গু. অর্থাৎ 

এবং  

সুতরাং ধারাবাহিক অনুপাতটি হবে  ।

[আরও পড়ুন- লাভ ক্ষতির অংক করার শর্টকাট টেকনিক]

◊ অনুপাতের অঙ্ক করার শর্টকাট পদ্ধতি

উদাহরণ-১ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১। এতে কি পরিমান সোনা মিশালে অনুপাত ৪:১ হবে?

সোনা:তামা = ৩:১

অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪

সুতরাং  মিশ্রণে সোনার পরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২ গ্রাম

মিশ্রণে তামার পরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম

এখন মিশ্রণে সোনা মিশানো হবে, তার মানে তামা যা আছে তাই থাকবে অর্থাৎ ৪ গ্রামই থাকবে। নতুন মিশ্রণে সোনা ও তামার অনুপাত হবে, ৪:১।

মানে হল, সোনা তামার ৪ গুণ হবে= (৪ গ্রামx৪) = ১৬ গ্রাম হবে।

সুতরাং অতিরিক্ত সোনা মিশাতে হবে  (১৬-১২) = ৪ গ্রাম

উদাহরণ-২ একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তারা করে। কুকুর যে সময় ৪ বার লাফ দেয় খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যত দূর যায়, কুকুর ৩ লাফে তত দূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?

খরগোশের ৪ লাফ = কুকুরের ৩লাফ

সুতরাং খরগোশের ৫ লাফ = কুকুরের ৩/৪ × ৫ = ১৫/৪ লাফ

সুতরাং কুকুর ও খরগোশের গতিবেগেরঅনুপাত = ৪:১৫/৪ = ১৬:১৫

উদাহরণ-৩ দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮।উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি?

ধরি সংখ্যা দুটি ৫x ও ৮x

প্রশ্নমতে , (৫x + ২) : (৮x + ২) = ২:৩

বা, (৫x + ২) / (৮x + ২) = ২/৩

বা, ১৬x + ৪ = ১৫x + ৬

বা, x = ২

সংখ্যা দুটি যথাক্রমে,

৫x = ৫ x ২ = ১০ ও

৮x = ৮ x ২ = ১৬

উদাহরণ-৪ একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম।এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১। এতে কি পরিমাণ সোনা ও তামা আছে?

সোনা ও তামার অনুপাত ৩:১ হলে, ধরি সোনা আছে ৩x গ্রাম এবং তামা আছে x গ্রাম।

প্রশ্নমতে,

৩x + x = ১৬

৪x = ১৬

x= ৪

অর্থাৎ, তামা আছে ৪ গ্রাম

সোনা আছে (৩*৪)গ্রাম = ১২ গ্রাম।

দ্বিতীয় নিয়মঃ

সোনা:তামা = ৩:১

অনুপাতে সংখ্যা দুটির যোগফল, (৩+১) = ৪

সুতরাং মিশ্রণেসোনারপরিমাণ = ১৬ x ৩/৪= ১২গ্রাম

মিশ্রণেতামারপরিমান = ১৬ x ১/৪ = ৪ গ্রাম

◊ সমানুপাত কাকে বলে?

প্রদত্ত চারটি রাশি এমন থাকে যে, প্রথম রাশি ও ‍দ্বিতীয় রাশির অনুপাত তৃতীয় রাশি ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তাহলে ঐ চারটি রাশি দিয়ে একটি সমানুপাত (proportion) হয়। সমানুপাতের প্রথম রাশি ও চতুর্থ রাশিকে প্রান্তীয় রাশি এবং ‍দ্বিতীয় রাশি ও তৃতীয় রাশিকে মধ্য রাশি বলে। চারটি রাশির প্রত্যেকটিকে সমানুপাতী বলে।

যেমন– ৯ : ৬ :: ৬ : ৪ বা ৯ : ৬ = ৬ : ৪ একটি সমানুপাতী। ৯ : ৬ : ৪ প্রকাশ করে একে আবার ধারাবাহিক অনুপাতও বলে। এখানে, ৯ ও ৪ হল প্রান্তীয় রাশি এবং ৬ ও ৬ হল মধ্য রাশি।

◊ ক্রমিক সমানুপাতী কী?

প্রদত্ত তিনটি রাশির প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত যদি দ্বিতীয় ও তৃতীয় রাশির অনুপাতের সমান হলে সমানুপাতটিকে ক্রমিক সমানুপাত বলে। যেমন: a, b ও c তিনটি সমজাতীয় রাশি হলে এবং  হলে, উক্ত অনুপাতকে ক্রমিক সমানুপাতী বলে। আবার,  a, b ও c ক্রমিক সমানুপাতি হবে যদি  হয়।

সমানুপাতের কয়েকটি প্রয়োজনীয় ধর্ম ( Some Important Properties of Proportion ) :

(১) একান্তর প্রক্রিয়া ( Alter nendo ):

a : b = c : d হলে, a : c = b : d হবে

প্রমাণ  : 

a:b=c:d⇒ab=cd⇒ab×bc=cd×bc⇒ac=bda:b=c:d⇒ab=cd⇒ab×bc=cd×bc⇒ac=bd

[ প্রমাণিত ]

(২) বিপরীত বা ব্যস্ত-প্রক্রিয়া ( Invertendo )

a : b = c : d হলে, b : a = d : c হবে

প্রমাণ  :

ab=cdab=cd

1. উভয়পক্ষে abab এবং cdcd দিয়ে ভাগ করে পাই,

1÷ab=1÷cd⇒ba=dc1÷ab=1÷cd⇒ba=dc

অতএব

ab=cd⇒ba=dc∴a:b=c:d⇒b:a=d:cab=cd⇒ba=dc∴a:b=c:d⇒b:a=d:c

[ প্রমাণিত ]

(৩) যোগ প্রক্রিয়া ( Componendo )

 a : b = c : d হলে , ( a + b ) : b = ( c + d ) : d হবে। 

প্রমাণ : 

a:b=c:d⇒ab=cd⇒ab+1=cd+1⇒a+bb=c+dd⇒(a+b):b=(c+d):da:b=c:d⇒ab=cd⇒ab+1=cd+1⇒a+bb=c+dd⇒(a+b):b=(c+d):d

[ প্রমাণিত ]

(৪) ভাগ প্রক্রিয়া ( Dividendo )

a : b = c : d হলে, ( a – b ) : b = ( c – d ) : d হবে।

প্রমাণ :

a:b=c:d⇒ab=cd⇒ab−1=cd−1⇒a−bb=c−dd⇒(a−b):b=(c−d):da:b=c:d⇒ab=cd⇒ab−1=cd−1⇒a−bb=c−dd⇒(a−b):b=(c−d):d

[প্রমাণিত ]

(৫) যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া ( Componendo  and Dividendo )

a : b = c : d হলে, ( a + b ) : ( a – b ) = ( c + d ) : ( c – d ) হবে 

প্রমাণ :  

a:b=c:da:b=c:d

⇒ab=cd⇒ab=cd [যোগ ও ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই ]

⇒a+ba−b=c+dc−d

⇒(a+b):(a−c)=(c+d):(c−d)⇒(a+b):(a−c)=(c+d):(c−d)

[প্রমাণিত ]

বিকল্প প্রমাণ :

মনে করি 

ab=cd=kab=cd=k

অতএব a = bk এবং c = dk

এবার

a+ba−b=bk+bbk−b=k+1k−1a+ba−b=bk+bbk−b=k+1k−1

আবার

c+dc−d=dk+ddk−d=k+1k−1c+dc−d=dk+ddk−d=k+1k−1

∴a+ba−b=c+dc−d∴a+ba−b=c+dc−d

(৬) সংযোজন প্রক্রিয়া ( Addendo )

a : b = c : d = e : f হলে, প্রতিটি অনুপাতের মান ( a + c + e ) : ( b+ d + f ) হবে, অর্থাৎ

ab=cd=ef=a+c+eb+d+fab=cd=ef=a+c+eb+d+f

সাধারণভাবে

ab=cd=ef=.........=a+c+e+........b+d+f+.......ab=cd=ef=………=a+c+e+……..b+d+f+…….

প্রমাণ :

মনে করি

ab=cd=ef=kab=cd=ef=k

অতএব  a = bk , c = dk , e = fk

এবার

a+c+eb+d+f=bk+dk+fkb+d+f=k(b+d+f)(b+d+f)=k∴ab=cd=ef=k=a+c+eb+d+fa+c+eb+d+f=bk+dk+fkb+d+f=k(b+d+f)(b+d+f)=k∴ab=cd=ef=k=a+c+eb+d+f

( প্রমাণিত )

মন্তব্য :

ab=cd=ef=..........=a+c+e+.........b+d+f+........,[b,d,f,.......≠0]